三角函数和差化积公式推导过程

三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来给分享三角函数和差化积公式及推导过程。

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

tAnA+tAnB=sin(A+B)/cosAcosB=tAn(A+B)(1-tAnAtAnB)

tAnA-tAnB=sin(A-B)/cosAcosB=tAn(A-B)(1+tAnAtAnB)

首先，我们知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB，sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB

我们把两式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB

所以，sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

同理，若把两式相减，就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

同样的，我们还知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB，cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB

所以我们就得到，cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

同理，两式相减我们就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的A+B设为A，A-B设为B，那么A=(A+B)/2，B=(A-B)/2

把A，B分别用A，B表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

sinAcosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

cosAsinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

cosAcosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

sinAsinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2